Zenão e o tubo de pasta de dente

Você se levanta de manhã cedo, vai ao banheiro e lava o rosto. Ainda meio adormecido, pega aquele tubo de pasta de dente já no final e o espreme com um pouco mais de força do que usou no dia anterior. Dá certo; ainda tem um pouquinho de pasta de dente para você escovar e começar o dia.

Talvez você acorde muito sonolento, talvez tenha preguiça de abrir um tubo de pasta de dente novo, ou talvez tenha simplesmente esquecido de incluir esse item nas últimas compras. O fato é que na manhã seguinte o tubo quase vazio continua lá e você consegue espremer um pouco mais dele apertando um pouquinho mais forte. É de se perguntar: quanto exatamente ainda se pode tirar de um tubo de pasta de dente quase vazio?

Essa dúvida corriqueira não é muito diferente das situações propostas por Zenão de Eleia para confundir seus colegas filósofos. Um pré-Socrático tardio, Zenão buscou apoiar as noções de seu mestre Parmênides de que movimento, tempo e, de fato, a própria ideia de pluralidade eram ilusões dos sentidos. Ele raciocinava da seguinte forma: “como é possível terminar uma tarefa que tenha infinitos passos em uma quantidade finita de tempo?” — e buscava ilustrar esse raciocínio através do que ele chamou de paradoxos, palavra grega que significa algo como “contrário à razão”. Por exemplo, dizia Zenão, suponha que o herói Aquiles aposte uma corrida com uma tartaruga. Para dar ao bicho uma certa vantagem, Aquiles deixa a tartaruga partir de um ponto na metade da distância a ser percorrida. Ora, mas quando Aquiles tiver percorrido metade daquela distância inicial, a tartaruga terá andado um pouco mais. E quando Aquiles tiver percorrido metade daquela distância que agora o separa da tartaruga, o quelônio terá andado um bocadinho a mais — e assim por diante. A conclusão do filósofo é que, como há um número infinito de pontos que separam Aquiles da tartaruga, o herói jamais poderia alcançar o animal num tempo finito. Logo, diz o filósofo, o movimento é uma ilusão.

Um paradoxo ainda mais sutil é o da flecha. Suponha que um arqueiro dispare uma flecha visando um alvo cem passos adiante. Agora imagine o voo da flecha num dado instante qualquer antes dela atingir o alvo. Se pensarmos em cada instante como uma “fotografia” da flecha, podemos imaginá-la parada no ar. Zenão sustenta que naquele instante em particular, a flecha ocupa apenas o espaço que ela ocupa e não está se movendo para parte alguma. Mais ainda, a flecha não pode sair de onde está para outro lugar, porque não há tempo passando para que a flecha se mova. Ou seja, conclui Zenão, se em qualquer dado instante que imaginarmos a flecha está estacionária, então não apenas o movimento é uma ilusão, como o próprio tempo é uma ilusão.

Os paradoxos de Zenão divertiram e confundiram pensadores nos séculos e milênios seguintes. Hoje em dia, armado com Cálculo Diferencial, um cientista moderno poderia considerar os paradoxos de Zenão trivialmente simples de resolver, mas há quem diga que não é assim tão fácil: não é uma simples questão de soma, ou, para usar o jargão matemático, de convergência de soma de séries infinitas. Zenão jamais menciona somas em seus argumentos, mas sim um número aparentemente infinito de passos não-instantâneos para completar uma tarefa.

Entretanto, a flecha atinge o alvo, Aquiles ultrapassa a tartaruga e o seu tubo de pasta de dentes finalmente esvazia. Será que isso implica que tempo e espaço são entidades discretas, em vez de contínuas? Ou será que os matemáticos têm razão e Zenão só precisava aprender a somar séries infinitas?

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